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Método de Newton


Es un método algo complicado el cual es empleado en análisis numérico, este método de Newton, también conocido como el método de Newton Fourier o de Newton Raphson, consta de un simple algoritmo que funciona para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces en una función real.


Este puede ser utilizado para encontrar el mínimo o el máximo de una función, encontrando en su primera derivada los ceros.


En este método es necesario conocer la derivada de la función; lo bueno de este método es que tan sólo necesita un punto inicial que viene siendo el punto x0; el mismo además presenta una convergencia cuadrática por lo que si converge lo hará rápidamente o no siempre converger, es un método abierto.

Método de newton

El método de Newton consta de la aplicación del cálculo diferencial empleada para hallar los ceros en una función  que sea derivable de enésimo grado y con una precisión elevada.

Los procedimientos para hallar estos ceros o raíces de funciones cuadráticas o lineales a partir de un coeficiente de ecuación son exactos y sencillos.  Aunque a pesar de esto, existen formulas realmente complejas para hallar las raíces de tercer y cuarto grado, las cuales no son prácticas.

Existe un teorema creado por Abel; el cual plantea que es imposible encontrar una fórmula general, en términos de coeficientes para todas las ecuaciones, ni permite hallar los ceros exactos en una función polinomial de mayor a grado cinco.

Esto nos dice que sólo se puede llegar a una aproximación; puesto que en líneas generales no se puede llegar a una exactitud para los ceros en las funciones mayores a grado cuatro, tan sólo aproximaciones aplicando métodos numéricos.


¿En qué consiste?

Consiste en tener un punto inicial x0, vamos a estar en presencia de una curva, la cual será fx, la evaluación de x0 se obtendrá de dicha curva por lo tanto vamos a tener un fx0, luego de trazar este punto vamos a tener una tangente a la curva fx, esta va a crear unos nuevos puntos; los cuales serán x1 y x2, aproximándose cada vez más a la raíz.

El método en sí consiste, para hacer más sencillo en encontrar la raíz de fx, teniendo en cuenta su derivada, el punto inicial y que el error relativo debe ser menor al 1%.

¿Cómo se utiliza el método?

Vamos a suponer que queremos resolver el valor de f(x) = 0, y que hemos separado ya las raíces, de modo que los intervalos [a,b] haya un solo cero en la ecuación, el cual lo denotamos por α.

 La función y = f(x) asumimos que admite derivadas hasta de segundo orden en [a,b], y que la primera derivada no se es anulada en el intervalo ya que la función es monótona estrictamente.

Entonces, el método consiste en escoger:

x0 = a, o x0 = b

Luego hacemos el cálculo

xn+1 = xn − f(xn) f 0 (xn) , n ≥ 0

De esta forma se genera una sucesión {Xn) la cual converge en varias ocasiones a α. La interpretación geométrica que poseemos es que ya conocido xn, se tiene que Xn + 1 es la abscisa del punto de corte de la tangente  a y = f(x) en (xn, f(xn)) con el eje y = 0.

Aplicamos la regla de Fourier sea a f: [a, b] −→ R continua y dos veces continuamente diferenciable en [a, b] y tal que verifica:

  1. f(a)f(b) < 0
  2. f 0 (x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b]
  3. f 00(x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b]

Entonces, el método de Newton converge si tomamos x0 = a o x0 = b de tal forma que f(x0) f´´(x0) > 0.


Referencias, créditos & citaciones en formato APA: Revista educativa Tareaeductiva.com. Equipo de redacción profesional. (2020, 02). Método de Newton. Escrito por: Equipo de investigación educativa. Obtenido en fecha , desde el sitio web: https://www.tareaeducativa.com/metodos/metodo-de-newton.html.

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